Шалва Александрович Гавашели родился 8(21) июня 1914 года в маленьком селении Геби в Грузии. Когда мальчику исполнилось пять лет, он вместе с родителями переехал в Кисловодск. Глава семейства Александр (Шошия) Илларионович Гавашели (1890 - 1974) был по профессии успешным торговым работником. Мать, Ефросинья Георгиевна, - домохозяйка, в семье росло трое детей: Надежда, Герман и Шалва. Семья поселилась в доме на улице Лермонтова.
После окончания средней школы №4 в 1931 году Шалва поступает в Кизеловский горно-угольный техникум Пермской области. Одновременно с учёбой работает сменным штегером (горным рабочим) на шахте «Капитальная-1». 11 сентября 1932 года Шалва Александрович попал под взрыв и получил серьёзную травму. У него был удалён правый глаз. Юноше грозила полная слепота. Лишь благодаря вмешательству наркома тяжёлой промышленности Григория Константиновича Орджоникидзе Шалву отправили на лечение в ведущую клинику глазных болезней имени Гельмгольца в Москву. Однако на всю оставшуюся жизнь Шалва Гавашели стал слабовидящим, инвалидом 2 группы.
Вернувшись в родной город, Шалва Александрович стал активно заниматься штангой. Причём первые шаги в спорте он делал вместе с Николаем Николаевичем Михайловым (1902 - 1971), археологом-любителем, одним из основателей народного краеведческого музея. В 1935 - 1938 годах работал тренером по тяжёлой атлетике ДСО «Медик».
Вскоре Гавашели становится чемпионом края, а потом и всего Северного Кавказа. Этот чемпионский титул он не уступал никому в течение 20 лет. В состязаниях штангистов Шалва выступал до 48 лет.
В 1938 - 1941 годах проходил обучение в Тбилисском техникуме физической культуры. Во время Великой Отечественной войны работал старшим методистом лечебной физкультуры в эвакогоспитале №5412, что располагался в санатории «Всекопромсоветкасс» (ныне «Кавказ»).
Почти 30 лет Ш.А. Гавашели возглавлял городской спорткомитет. Он явился инициатором строительства городского стадиона, открытого 10 мая 1959 года и два года был директором стадиона. Шалва Александрович воспитал многих именитых спортсменов. Среди них мастера спорта СССР Сергей и Георгий Амбарцумяны, Анатолий и Александр Простаковы, Феликс Ароян - мастер международного класса. Ш.А. Гавашели способствовал широкому развитию физкультуры и спорта в школах, были открыты спортивные залы в медицинском училище №1, профтехучилище №29. Он оказывал помощь и содействие городскому клубу туристов, организованному 15 апреля 1964 года, и его руководителю Евгению Сергеевичу Виноградову. Помогал молодым спортсменам в улучшении жилищных условий.
Шалва Александрович выступил инициатором создания Олимпийского комплекса в Кисловодске.
В 2004 году Ш.А. Гавашели было присвоено звание «Почётный гражданин города Кисловодска».